7日間で展開と因数分解を完全攻略

14. 式の乗法・除法と展開

展開とはカッコを外してかけ算すること。

単項式 × 多項式: 3a(2a - 7) = 6a² - 21a

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

例: (x + 2)(y + 5) = xy + 5x + 2y + 10

例: (a + 2)(a - 9) = a² - 9a + 2a - 18 = a² - 7a - 18

15. 乗法公式

これらの公式を使えば瞬時に展開できる：

公式①: (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab

公式②: (a + b)² = a² + 2ab + b²

公式③: (a - b)² = a² - 2ab + b²

公式④: (a + b)(a - b) = a² - b²

例（公式①）: (x + 3)(x - 5) = x² + (3-5)x + 3×(-5) = x² - 2x - 15

例（公式②）: (a + 3)² = a² + 2(a)(3) + 3² = a² + 6a + 9

例（公式④）: (x + 2)(x - 2) = x² - 4

16. いろいろな式の展開

公式がそのまま使えないときは、置き換えやグループ分けを考える。

例: (3x + 2)(3x + 5) 3xをひとかたまりと見る。t = 3x とおくと： = t² + (2+5)t + 2×5 = t² + 7t + 10 = (3x)² + 7(3x) + 10 = 9x² + 21x + 10

例: (x - 2)² - (x + 4)(x - 4) = (x² - 4x + 4) - (x² - 16) = x² - 4x + 4 - x² + 16 = -4x + 20

17. 因数分解

因数分解は展開の逆。 式を因数（かけ算の形）に分解する。

ステップ1: まず共通因数を探す。 ax + bx = x(a + b) 4ax - 6bx = 2x(2a - 3b)

ステップ2: 因数分解の公式を逆に使う： x² + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b)

例: x² + 2x - 15 かけて-15、足して+2になる2つの数を見つける： → +5 と -3 = (x + 5)(x - 3)

完全平方式: x² - 10x + 25 = (x - 5)² 平方の差: x² - 9 = (x + 3)(x - 3)

18-19. 式の利用 — 計算の工夫と証明

計算の工夫（因数分解の公式を使って暗算を効率化）：

例: 102² = (100 + 2)² = 100² + 2×100×2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404

例: 39² - 31² = (39 + 31)(39 - 31) = 70 × 8 = 560

式を使った証明: 「連続する2つの奇数の積に1を足した数は、4の倍数であることを証明せよ」

連続する2つの奇数: 2n - 1, 2n + 1 (2n - 1)(2n + 1) + 1 = 4n² - 1 + 1 = 4n²

n²は整数だから、4n²は4の倍数である。∎

単元14〜19の演習問題。公式を使いこなそう。毎回分配法則で展開するのではなく、公式で瞬時に解こう。