7日間で2次方程式を完全攻略

1. 2次方程式の解き方①（因数分解・平方根）

2次方程式とは？ ax² + bx + c = 0 の形の方程式（a ≠ 0）。

方法1：平方根を使う

x² = k の形のとき：

• ●k > 0 なら x = ±√k
• ●k = 0 なら x = 0
• ●k < 0 なら実数解なし

例題：x² = 25 x = ±5

例題：(x − 3)² = 16 x − 3 = ±4 x = 7 または x = −1

例題：3x² − 48 = 0 3x² = 48, x² = 16, x = ±4

方法2：因数分解を使う

ax² + bx + c = 0 の形に整理して因数分解する。

原理： AB = 0 ならば A = 0 または B = 0

例題：x² + 2x − 15 = 0 積が−15、和が+2 になる2つの数 → +5 と −3 (x + 5)(x − 3) = 0 x = −5 または x = 3

例題：x² − 10x + 25 = 0 (x − 5)² = 0 x = 5（重解）

2. 2次方程式の解き方②（解の公式）

ax² + bx + c = 0 の解は：

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

因数分解できないときでも、この公式で必ず解ける。

例題：x² + 3x − 2 = 0（a = 1, b = 3, c = −2） x = (−3 ± √(9 + 8)) / 2 x = (−3 ± √17) / 2

例題：2x² − 5x + 1 = 0（a = 2, b = −5, c = 1） x = (5 ± √(25 − 8)) / 4 x = (5 ± √17) / 4

判別式： b² − 4ac

• ●

  0：異なる2つの実数解

• ●= 0：重解（1つの解）
• ●< 0：実数解なし

3. いろいろな2次方程式

まず整理が必要な方程式

必ず ax² + bx + c = 0 の形に整理してから解く。

例題：x² = 4x + 5 x² − 4x − 5 = 0 (x − 5)(x + 1) = 0 x = 5 または x = −1

例題：(x + 3)(x − 1) = 5 x² + 2x − 3 = 5 x² + 2x − 8 = 0 (x + 4)(x − 2) = 0 x = −4 または x = 2

4. 2次方程式の利用

数の問題

例題：「連続する2つの正の整数の積が72である。この2つの整数を求めなさい。」 小さい方をxとする：x(x + 1) = 72 x² + x − 72 = 0 (x + 9)(x − 8) = 0 x = 8（x > 0より）→ 8と9

図形の問題

例題：「長方形の庭の縦はよこより4m長い。面積が60m²のとき、縦と横の長さを求めなさい。」 横 = x：x(x + 4) = 60 x² + 4x − 60 = 0 (x + 10)(x − 6) = 0 x = 6（−10は不適） 横6m、縦10m

面積を切り取る問題

例題：「20cm×15cmの長方形から、隣り合う2辺に沿って同じ幅の帯を切り取ると、残りの面積が150cm²になった。帯の幅を求めなさい。」 帯の幅 = x cm (20 − x)(15 − x) = 150 x² − 35x + 150 = 0 (x − 5)(x − 30) = 0 x = 5（30は不適、15を超えるため） 帯の幅 = 5cm

3つの解法をすべて練習。問題ごとに最も効率的な方法を選ぼう。