7日間で関数 y=ax² を完全攻略

1. 関数 y = ax²

定義： yがxの2乗に比例する → y = ax²（a ≠ 0）

見分け方： y/x² がすべてのデータで一定なら y = ax²

例：1辺 x cm の正方形の面積 y cm² → y = x²（a = 1） 例：半径 x の円の面積 y → y = πx²（a = π）

式の求め方： y = ax² で、x = 3 のとき y = −18 なら： −18 = a(3²) = 9a → a = −2 → y = −2x²

注意： y = ax² は比例（y = ax）ではない。xが2倍になるとyは4倍！

2. y = ax² のグラフ（放物線）

グラフは放物線と呼ばれる。

性質：

• ●必ず原点(0, 0) を通る — これが頂点
• ●y軸について対称（対称軸）
• ●a > 0： 上に開く（U字型）、頂点が最小値
• ●a < 0： 下に開く（∩字型）、頂点が最大値
• ●|a| が大きいほど、放物線は細くなる

グラフのかき方：

1. ●x = −3 〜 3 でyの値の表を作る
2. ●点をプロットする
3. ●滑らかな曲線で結ぶ

例：y = x² | x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | | y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |

y = ax² と y = −ax² は、x軸について対称（線対称）。

3. 値の増減と変域

a > 0（上に開く）のとき：

• ●x < 0 の範囲：xが増えるとyは減少
• ●x > 0 の範囲：xが増えるとyは増加
• ●最小値は x = 0 のとき y = 0

a < 0（下に開く）のとき：

• ●x < 0 の範囲：xが増えるとyは増加
• ●x > 0 の範囲：xが増えるとyは減少
• ●最大値は x = 0 のとき y = 0

xの変域からyの変域を求める：

重要： xの変域に0が含まれるとき、頂点がmin（a > 0）かmax（a < 0）になる。

例：y = x²、−2 ≤ x ≤ 4 x = 0 で y = 0（最小）、x = 4 で y = 16（最大） yの変域：0 ≤ y ≤ 16

例：y = −2x²、−2 ≤ x ≤ 3 x = 0 で y = 0（最大）、x = 3 で y = −18（最小） yの変域：−18 ≤ y ≤ 0

注意： y = x²、1 ≤ x ≤ 4（0を含まない） x = 1 で y = 1、x = 4 で y = 16 yの変域：1 ≤ y ≤ 16（0ではない！）

4. 変化の割合

変化の割合 = yの増加量 / xの増加量

一次関数との違い： y = ax² では変化の割合は一定ではない！

例：y = 2x²、x = 1 → x = 3 y₁ = 2、y₂ = 18 変化の割合 = (18 − 2) / (3 − 1) = 16/2 = 8

例：y = 2x²、x = −3 → x = −1 y₁ = 18、y₂ = 2 変化の割合 = (2 − 18) / (−1 − (−3)) = −16/2 = −8

公式（y = ax²）： x = p から x = q への変化の割合 = a(p + q)

確認：a(1 + 3) = 2 × 4 = 8 ✓

変化の割合からaを求める：

「y = ax²、x = 1 から x = 4 の変化の割合が10。aを求めよ。」 a(1 + 4) = 10 → 5a = 10 → a = 2

5. y = ax² の利用

動点の問題

例：正方形ABCDの1辺10cm。点Pが毎秒2cmでA→Bに移動。x秒後の△APQの面積y。

放物線と直線の交点

例：y = (1/2)x² と A(−4, 8)、B(6, 18) を通る直線

1. ●

   直線の傾き = (18 − 8)/(6 − (−4)) = 1 直線：y = x + 12

2. ●

   y軸との交点 C(0, 12)

3. ●

   △OABの面積 = △OAC + △OBC = (1/2)×12×4 + (1/2)×12×6 = 24 + 36 = 60

落下する物体

ボールを落とすと x 秒後に y = 5x² m 落下。

• ●3秒後：y = 5(9) = 45 m
• ●1秒後〜3秒後の平均速度：(45 − 5)/(3 − 1) = 20 m/s

式の決定、グラフの性質、変域、変化の割合の基礎を練習。