7日間で平方根を完全攻略

20. 平方根

x² = a のとき、xは a の平方根。±√a と書く。

例: 25の平方根は ±5（5² = 25、(-5)² = 25 だから）

表記のポイント:

• ●√49 = 7（正の平方根のみ）
• ●x² = a は x = ±√a と書ける

大小比較: √と普通の数は、2乗して比較する。 √10 と √11 → 10 < 11 だから √10 < √11

3 と √5 → 3² = 9, (√5)² = 5, 9 > 5 だから 3 > √5

有理数と無理数:

• ●分数で表せる数 → 有理数: 6, 1.7, 1/3
• ●分数で表せない数 → 無理数: √2, √3, π

21. 根号をふくむ式の乗法・除法

かけ算: √a × √b = √(ab)

例: √2 × √5 = √10 例: √12 × √45 = √(12×45) = √540

簡単にする: √の中から完全平方数をくくり出す。 √12 = √(4×3) = 2√3 √45 = √(9×5) = 3√5 √48 = √(16×3) = 4√3

割り算: √a ÷ √b = √(a/b)

有理化: 分母から√をなくす。 7/√3 = 7×√3/(√3×√3) = 7√3/3

22. 根号をふくむ式の加法・減法

同じ√の中身を持つ項（同類項）はまとめられる。

6√2 + 3√2 = 9√2 4√3 - 10√3 = -6√3

まず簡単にしてから、まとめる: √12 + √48 = 2√3 + 4√3 = 6√3

有理化してからまとめる: 5√3 + 6/√3 = 5√3 + 6√3/3 = 5√3 + 2√3 = 7√3

23. 根号をふくむ式の計算

√の分配法則: √2(√10 + 3) = √20 + 3√2 = 2√5 + 3√2

展開公式は√でも使える！

例: (√6 + 4)(2√6 + 1) = √6 × 2√6 + √6 × 1 + 4 × 2√6 + 4 × 1 = 12 + √6 + 8√6 + 4 = 16 + 9√6

例: (√11 + √7)(√11 - √7) = (√11)² - (√7)² = 11 - 7 = 4

代入問題: x = √2 + √5, y = √2 - √5 のとき、xy と x² - y² を求めよ。 xy = (√2 + √5)(√2 - √5) = 2 - 5 = -3 x² - y² = (x+y)(x-y) = (2√2)(2√5) = 4√10

単元20〜23の演習問題。√は必ず最も簡単な形にすること。