相似な図形

1. 三角形の相似

相似な図形は形が同じで大きさが違う。対応する角は等しく、対応する辺の比は一定。

相似比: 対応する辺の比。

相似条件

1. ●2組の角がそれぞれ等しい（AA）
2. ●3組の辺の比がすべて等しい
3. ●2組の辺の比とその間の角が等しい

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2. 相似の証明

例：「直線ABとCDが点Oで交わる。AC // BD。△OAC ∼ △OBDを証明せよ。」

証明： ① ∠OAC = ∠OBD（AC // BD の錯角） ② ∠AOC = ∠BOD（対頂角） ①②より、AA で △OAC ∼ △OBD ∎

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3. 平行線と線分の比

三角形の比例定理

△ABCで DE // BC（DはAB上、EはAC上）のとき：

• ●AD : DB = AE : EC
• ●AD : AB = AE : AC = DE : BC

例：AD = 4, DB = 6, AE = 3 → EC = ? 4 : 6 = 3 : EC → EC = 4.5

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4. 中点連結定理

△ABCで M, N がAB, ACの中点なら：

• ●MN // BC
• ●MN = (1/2)BC

応用：四角形の各辺の中点を結ぶと平行四辺形になる。

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5. 面積比・体積比

相似比が m : n のとき：

• ●周の長さの比 = m : n
• ●面積比 = m² : n²
• ●体積比 = m³ : n³

例：相似比 3:5 → 面積比 = 9:25 例：相似比 2:3 → 体積比 = 8:27