中学1年

おうぎ形といろいろな図形の面積

Sectors & Composite Areas

説明

円の一部を切り取った形。ピザの1切れみたいなやつ。

1つの円では、おうぎ形の弧の長さと面積は中心角に比例する。

つまり、円全体（360°）のうち何度分かを考えればいい。

中心角	円全体に対する割合	弧の長さ	面積
360°（円全体）	$\frac{360}{360} = 1$	$2\pi r$	$\pi r^2$
180°（半円）	$\frac{180}{360} = \frac{1}{2}$	$\pi r$	$\frac{\pi r^2}{2}$
90°（四分円）	$\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$	$\frac{\pi r}{2}$	$\frac{\pi r^2}{4}$
$a$ °	$\frac{a}{360}$	$2\pi r \times \frac{a}{360}$	$\pi r^2 \times \frac{a}{360}$

中心角が 2倍なら弧も面積も 2倍。シンプル。

弧の長さ： $\ell = 2\pi r \times \frac{a}{360}$

おうぎ形の面積： $S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}$

半径6cm、中心角120°なら → 弧 $= 2\pi(6) \times \frac{120}{360} = 4\pi$ cm、面積 $= \pi(36) \times \frac{120}{360} = 12\pi$ cm²

基本図形を 足したり引いたり して求める。

よくあるパターン：

中心角が2倍になると、おうぎ形の弧の長さと面積はどうなる？

▶解答を見る

どちらも2倍になる

弧の長さも面積も中心角に比例するから。

半径10cm、中心角90°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。

▶解答を見る

弧 = 2π(10) × 90/360 = 20π × 1/4 = 5π cm
面積 = π(100) × 90/360 = 25π cm²

90°は円全体の1/4。円周と面積をそれぞれ1/4にする。

弧の長さが6π、半径が9のおうぎ形の中心角を求めよ。

▶解答を見る

6π = 2π(9) × a/360
6π = 18π × a/360
a/360 = 1/3
a = 120°

弧の長さの公式に代入して、中心角aについて解く。

ショートで理解する1/2

おうぎ形の弧の長さと面積

公式は円の「何分の何」で考える。中心角÷360がカギ

確認問題

半径6cm、中心角120°のおうぎ形の面積を求めよ。

中心角

円全体に対する割合

弧の長さ

面積

360°（円全体）

\frac{360}{360} = 1

2\pi r

\pi r^2

180°（半円）

\frac{180}{360} = \frac{1}{2}

\pi r

\frac{\pi r^2}{2}

90°（四分円）

\frac{90}{360} = \frac{1}{4}

\frac{\pi r}{2}

\frac{\pi r^2}{4}

a

\frac{a}{360}

2\pi r \times \frac{a}{360}

\pi r^2 \times \frac{a}{360}